数与形在循环中的完美结合

作者：张一诺

循环，是完美的。月球公转、地球自转、地铁公交、玩具轨道、循环小数……数学与生活中，循环无处不在，那么循环中的数与形有怎样的关系呢？

《时代数学报》2021～2022学年度第10期第1版的文章《数与形——棋子与循环》让我觉得难以置信。我尝试按照文章的介绍操作，发现结果确实就是这么奇妙。拿10颗棋子按文章所说的方法一直操作下去，棋子阵果然就变成了（4，3，2，1）的三角阵，而继续如上操作三角阵不再变化，棋子阵最终陷入循环节为（4，3，2，1）的循环。“数”是棋子所呈现个数，“形”为棋子阵所呈现阵的图形。棋子与循环，棋子自己本身这个物体并没有办法形成循环，但与数的结合构成数的循环和图形的循环。为何会形成这样的循环呢？作者给出了答案，操作次数是无限的，但因为棋子个数是有限的，只有10个，所以组合成的图案是有限的，因此在某次操作后的图案必然会与前面某次图案相同，即产生循环。

这个游戏向我直观展示了数与形在循环中的完美结合，更让我看到了数与形在变化中的一致性。

“数缺形时少直观，形少数时难入微。”数与形是相互所需的，数是抽象的，形是真实的，一些抽象的数可以用物体的形表示，让我们更能理解。我们可以用“数”来解决“形”的问题，也可以用“形”来表达“数”的问题，也可以用数形结合来解决问题。比如经典题目：1/2+1/4+1/8+……+2的n次方分之1=？，解题时可以用形来表示成：

这样将数用形表示出来，答案就一目了然：1减去2的n次方分之一。这是将数与形两者相结合，把抽象的数字和数量关系转化为几何图形和位置关系，再将两者结合，就是将抽象与形象相结合。

“数”与“形”是事物两个方面的属性，在一定的条件下可以相互转化，两者是对应关系，通过相互转化从而简化了数学问题的思想，把复杂的问题简单化，抽象的问题具体化。以“数”化“形”，把数用几何图形表示出来，利用几何图形来解决数学问题，比如许多代数恒等式可以转化为图形面积；以“形”化“数”，可以把几何图形用代数式表示，再根据相关条件，解决数学问题。

如果我们在数学学习中，能巧妙地运用好数与形的一致性，将“数”与“形”完美地结合起来，去描述数学语言，将有助于建构我们的数学思维，提高解题效率。

（指导老师 谢硅）