探究数学之美
近代科学家开普勒曾经说过：“数学是这个世界之美的原形”。数学是一种独特的理性文化，它的表现形式是“冰冷的美丽”，但是原始的过程是“火热的思考”。数学的美是和数学所使用的逻辑演绎方法密切相关的，下面就让我们从以下几个方面领略一下数学之美。
数学之美源于生活：生活中处处有数学，数学早已渗透到我们生活的方方面面，我们的举手投足之间，处处体现着数学，就看我们是否具有一双智慧的眼睛，善于发现其中的数学奥妙.
著名的斐波那契数列就来源于生活实际：1202年的一天，一个叫斐波那契的意大利人到外面散步，看到院子里有个男孩在用萝卜喂兔子。红眼睛、长耳朵的白兔很可爱，斐波那契站在那里看了好大一会儿。
几个月后，斐波那契散步又到那里，发现院子里不再是一对兔子，而是大大小小好多只兔子了。斐波那契问道：“你又买了些兔子吗?”那男孩回答：“没有，这些兔子都是原来那对兔子生的。”
“一对兔子能繁殖这么多吗?”他感到吃惊。
那男孩又说：“兔子繁殖可快了，每个月都要生一次小兔子，并且小兔子出生两个月后就能够再生小兔子了。”
“哦，原来是这样的。”意大利人明白了一些。
回家以后，他又想到了那些兔子。他给自己出了这样一道题：
假设一对刚出生的小兔一个月后就能长成大兔，再过一个月就能生下一对小兔且此后每个月都生一对小兔。一年内这群兔子没有发生死亡，问：一对刚出生小兔子，一年内能繁殖成多少对兔子? 我们可由此引出如下数列：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55 ……
这就是著名的斐波那契数列，这个数列有这样一个规律：从第三项起，每一项都是它前两项之和，我们再来看该数列的前几对相继数的比：
1/1＝1.0000 ? ? ? ? ?1/2＝0.5000 ? ? ? ? ?2/3＝0.6667
3/5＝0.6000 ? ? ? ? ?5/8＝0.6250 ? ? ? ? ?8/13＝0.6154
13/21＝0.6190 ? ? ? 21/34＝0.6176 ? ? ? ?34/55＝0.6182
如果我们的计算遍及整个数列，将会得到一个奇妙的性质，这一比值将明显的趋于一个极限值，该值位于0.618与0.6181之间，它恰好是黄金比的近似值。它还能准确地以表示出来，即：.
斐波那契数列给了我们很多的启示，下面的例子也是我们生活中常见到的：
走楼梯问题：一段10级台阶的楼梯，现在规定每一步只能跨1级或者2级台阶，问要登上这10级台阶共有多少种不同的走法。
又如： 一只蜜蜂从0号蜂房开始爬，
只能往比原来的房号大的蜂房爬，最后爬
到9号蜂房，问共有多少种不同的爬法。
这样的例子在生活中举不胜举，只要我们细心观察，生活中的数学奥秘俯拾皆是。
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数学之美源于自然：自然界许多动植物都具有数学性质： 除了刚才的例子之外，还有许多例子，例如： 向日葵的外形就包含了这样一种黄金分割的原理:向日葵的花盘上有一左一右的螺旋线，每—套螺旋线都符合黄金分割的比例。如果有21条左旋，则有13条右旋，总数为34条。13与21比值的近似值恰好是黄金分割的比值0．618。此外，向日葵的花盘外缘有两种不同形状的小花，即管状花和舌状花，它们的数目分别是55和89，它们的比值恰好也满足是0．618。
为什么向日葵有这种外形的黄金分割呢?这是由它们吸收阳光的机制所决定的。只有在这种黄金分割的分布下，向日葵才能让每—片叶子、枝条和花瓣互不重叠，从而最大限度地吸收阳光和营养，进行光合作用。不仅向日葵如此，许多植物和花木都如此,其实这种最优化的功能也是最美的表现形式之一，这真是大自然的传奇啊！
数学之美源于简洁：数学试题中有许多难题，尤其是中考压轴题和竞赛压轴题。但是，如果我们能够抓住问题的本质，另辟蹊径，往往能达到四两拨千斤的效果，下面几道中考及IMO数学竞赛中的压轴题，解法就非常简洁，证明过程只有几步，而且只需要一般的初中水平知识就足够了：
例1：（中考试题改编）如图，抛物线方程为 ，设抛物线与X轴交于A,C两点,与Y轴交于点B, 抛物线顶点为D,连结BA，将∠OBA对折，折痕恰好过点C, 问： 在直线BC上是否存在点P,使得四边形OPAD为平行四边形.?
此题有多种解法，最简单的解法莫过于向量解法：
（略解）：设P（x,y），依题意可求得A（8,0）,D（）,∴，又∵平行四边形OPAD，∴，即：（x,y）=，∴x=,y=,即P ,把x= 代入 ，得y=,∵,∴点P不落在直线BC上.?
这种解法给人眼前一亮的感觉.?
例2：（第31届IMO预选题）设集合
证明：易证，
又∵故：
求证：（1）a,b,c一定是某个三角形的三条边长；
证明：（1）略
例4（第32届IMO集训队试题）: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
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如图,在RT△ABC中，AB=AC,AD=AE,
AN⊥BE,DM⊥BE,求证：MN=NC.
证法一）：∵AN⊥BE,DM⊥BE
∴DM∥AN，
过C作CF∥AN与BA的延长线交于F,
因BE⊥CF,CA⊥BF,故E为△BCF的垂心，因此FE⊥BC，
有∠BFE=-∠FBC=,
所以△AEF是等腰直角三角形，
即有：AF=AE.
又：AD=AE，所以AD=AF,
可得：MN=NC.
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证法二）：由证法一易知，
RT△BAE≌RT△CAF,?
∵AE=AF,AD=AE,?
∴AD=AF,?
∴MN=NC
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证法三）：过C作CQ∥AB交AN的延长线于Q,过M作MP∥AB交AN于P,则MP∥QC,?
∵DM∥AP, ∴ADMP是平行四边形，∴MP=AD,
显然△ABE≌△CAQ, ∴CQ=AE,
又∵AD=AE, ∴MP=QC, ∴△NMP≌△NCQ,∴MN=NC.
许多竞赛试题貌似非常难，其实就是课本例题，练习题的直接延伸，发展和变化：
例如：人教社初中几何第二册：在△ABC中，E是内心，∠A的平分线交△ABC的外接圆于点D,求证：DE=DB=DC.
由此改编第30届IMO试题：锐角△ABC中，∠A的平分线与外接圆交于，，，两角的外角平分线，，，求证：的面积是六边形.（证明请读者思考）
在上述例题中，我们发现，有时方法越简洁，越能迅速地探究到事物的本质。尤如艺术，复杂的油画很美，但是简笔画也同样具有它的美，越简洁就越美。
数学之美在于创新：创造是智慧的华朵，各种创造性的活动本身包含至高的美，会给人带来满足和享受。
1777年，法国科学家蒲丰突发奇想，请许多朋友来家里，做了一个有趣的实验，他把事先画好的一条条等距离平行线的白纸铺在桌面上，又拿出一大把质量均匀，长度为平行线间距离一半的小针，请客人把针一根根随便扔到纸上。共投了2212次，其中与平行线相交的有704次。然后蒲丰宣布说：圆周率的近似值就是。这个试验被认为是几何概型的第一个试验，这个试验让人震惊，竟然和一个看似风马牛不相及的投针试验联系在一起，新颖奇特，开创了随机试验处理确定性问题的先导，着实令人叫绝!
再如：（第19届IMO试题）在一个有限的实数数列中，任何7个连续项的和都是负数，任何11个连续项的和都是正数，试问这样一个数列最多能包含多少个项?
证明 ?我们证明这个数列至多包含16项。
首先证明17项就不能具有所述的性质。用反证法．假设有一个17项的数列具有所述的性质．将每连续11项写成一行，列成表：
共写成7行（恰好写到为止）．由于表中每一行的和都是正数，所有数的和当然也是正的。
但另一方面，如果先算出各列的和，再将各列和加起来，那么由于每一个列的7个数的和都是负的，总和当然是负的，矛盾!
其次，我们可以构造出一个16项的数列满足要求．构造数列5，5，-13，5，5，5，-13，5，5，-13，5，5，5，-13，5，5
知n＝16的数列是存在的．
本题的结论可以推广：用两个互素的正整数p与q分别代替题中的7和11，得出最大项数为p＋q-2，证明请读者思考。
数学之美源于艺术：许多艺术作品都有意无意地用到了数学知识，音乐也离不开数学，就连诗歌也与数学密不可分。还记得吗？音乐简谱是用“1 2 3 4 5 6 7”这七个最基本的数字来表现的，当它们奇妙地组合之后，就散发出无以言表的美。因此著名华人数学家丘成桐先生认为：“数学兼具诗歌与散文的内在气质，数学既是严谨的又充满想象的张力”。好的数学与好的诗歌具有相同的特征，那就是它们共同的内在美。
我们可以用美丽的函数图像来解读诗歌。例如，我们可以利用绝对值构造双曲函数，用其图像解读唐代大诗人李白《望天门山》中的美丽诗句；
“天门中断楚江开，碧水东流至此回”。
“两岸青山相对出，孤帆一片日边来”。
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我们也可以用取整函数的图像解读唐朝诗人王之涣的美丽诗句：
“欲穷千里目，更上一层楼”
“大鹏—日同风起，扶摇直上九万里”
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剖开数学抽象的表象，它的下面是诗意的美丽的内在，数学代表的不仅仅是刻板和枯燥。德国哲学大师海德格尔曾激情澎湃地说过：“人要诗意地栖居在大地上”。是的，如果你是一个数学家，你同样可以是一个美好的生活家。
数学之美源于对称: 几何学中的圆，是自然界中一切圆中最完美的圆，从各个方面看，圆都具有完美的对称性，因此，它让人感到十分舒服，然而，这仅仅是圆的外在美，它的内涵意蕴则更加动人心扉，中考命题者也对圆的题目情有独钟，往往会出一些有一定难度的题目，如果你能够抓住圆的对称性，难题往往可以变得简单：
如图：已知AB是☉O的直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E,P为BC上一点，连接AP分别交OC，CD,BC于点F,G,H,连接DP交BC于点Q,
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（1）若P为BC的中点，则CG=CH；
（2）若F为OC的中点，则Q为BC的中点。
这是一道中考训练题，有一定难度，但是如果从圆的对称性入手，变得轻而易举。
证明：（1）：（略证）连接PB,则∠A=∠PBC
又∵∠AEG=∠APB，∴∠AGE=∠BHP，
∴∠CGH=∠CHG，∴CG=CH
（2）：连接BD, ∵AB是☉O的直径，CD是弦，AB⊥CD，
垂足为E, ∴BC=BD, 又∵∠FAO=∠QDB,?
∠AOF=∠OCB＋∠OBC=2∠OBC,?
∠QBD=2∠OBC, ∴∠AOF=∠QBD,
∴△AFO∽△DBQ, ∴,
∵,∴,
即：Q为BC的中点。
再如：两个人相继轮流往一张圆桌上平放一枚同样大小的硬币（两人拥有同样多的硬币，且两人的硬币合起来足够铺满桌子），谁放下最后一枚而使对方没有位置再放，谁就获胜．试问是先放者获胜还是后放者获胜，怎样才能稳操胜券？
这是一个古老而值得深思的难题．解答此题要用到所谓“对称策略”,具体解答请读者完成。
数学之美源于整体： ?数学之美，还在于整体的结构，巍峨的，精致的，华丽的，各种各样的，任由人们细心鉴赏，现行课本中每个章节后的单元小结，就是从整体上把握本章内容，值得我们细心品味.另外：?
就是从一个侧面揭示了的Maclaurin级数在x=1时超越数e的优美形式，而微积分这门学科，就是整体与局部的完美结合。
数学之美源于开放: 提出一个问题比解决一个问题更为重要，好的数学问题，不仅构思巧妙，结论简洁，而且结论还是开放的。
法国数学家费马提出了一个奇妙的猜想：形如的数是质数，（n=0，1 2.），后人把这个数称为费马数.但是 n=5时就不对,九十二年后，瑞士数学家欧拉指出:当n=5时是合数：4294967297=6416700417。推翻费马猜想的欧拉也提出了一个公式：，1798年，法国数学家勒让德给出了一个更为简单的公式：，随后，又有许多人提出了各种各样表示质数的公式。虽然这些公式都会从某个数开始失效，但是正是在不断探索过程中，数学得到了发展。
数学之美，不仅美观，更是美妙，数学中的许多精品，闪烁着智慧的文明之光，让数学走进日常生活，让人文丰富数学的内涵，如果我们带着一颗欣赏数学之心，漫步在奇妙无比的数学百花园中，感受博大精深的数学内涵，领悟数学人生的真谛，那么，我们的内心就会变得无比充盈，我们的人生也会因此而丰富多彩。
【宝瓶】
在大多数人眼里“枯燥乏味”的数学，也有这样独特的美丽。
只是，需要你有一双发现美的眼睛！