音乐里的数学思维

如今人们记录音乐最常用的方法是简谱和五线谱,它们都与数学有密切的联系. 简谱不正是用阿拉伯数字 1、2、3、4、5、6、7 来表示do、Re、Mi、Fa、Sol 、La 、Si 的吗?难怪有人开玩笑说 , 学音乐要上达到8. 为什么呢?

因为阿拉伯数字 8 在五线谱中也发挥着重要的作用,它常常在器乐谱中以 或 的面目出现,这就是移动八度记号.如果标记在五线谱的上方,那么虚线内的音符要移高一个八度演奏,而标记在五线谱的下方,显然虚线内的音符要移低一个八度演奏. 另外还要下达到0,因为在简谱中 0 表示休止符. 再看简谱和五线谱上,一般都会出现? 这样的标记 ,这种标记就是用来表示音乐进行的快慢的,即音乐的速度. 比如, 就表示以四分音符为单位拍, 每分钟132 拍.

此外,在每一首乐曲的开头部分, 我们总能看到一个分数,比如,2/ 4、3/ 4、3/ 8、6/ 8 等,这些分数是用来表示不同拍子的符号, 即是音乐中的拍号（the Time Signature） ,其中分数的分子表示每小节单位拍的数目,分母表示单位拍的音符时值, 即表示以几分音符为一拍. 拍号一旦确定, 那么每小节内的音符就要遵循由拍号所确定的拍数,这可以通过数学中的分数加法法则来检验.比如,? 和? 就符合由拍号4/ 4和3/ 4分别所确定的拍数,因为1/ 2 ＋1/ 4 ＋1/ 4 = 4/ 4,1/ 2 ＋1/ 8 ＋ 1/ 8 = 3/ 4;而又因为1/ 16 ＋ 1/ 2 ＋ （1/ 4 ＋ 1/ 8）= 15/ 16 ≠ 4/ 4 ,1/ 8 ＋ 1/ 2 = 5/ 8 ≠ 3/ 4 , 所以不符合由拍号4/ 4和3/ 4分别所确定的拍数. 这些看似简单的要求正是音乐作曲的基础.

钢琴键盘上的数学

看一下乐器之王——钢琴的键盘吧,其上也恰好与斐波那契数列有关. 我们知道在钢琴的键盘上,从一个 C 键到下一个 C 键就是音乐中的一个八度音程（如图1） . 其中共包括13个键,有8个白键和5个黑键 ,而5个黑键分成 2组 ,一组有2个黑键 ,一组有3个黑键.2、3、5、8、13 恰好就是著名的斐波那契数列中的前几个数.

音乐中的等比数列

如果说斐波那契数在钢琴键上的出现是一种巧合, 那么等比数列在音乐中的出现就决非偶然了: 1、2、3、4、5、6、7、i等音阶就是利用等比数列规定的.再来看图1,显然这个八度音程被黑键和白键分成了12个半音,并且我们知道下一个C键发出乐音的振动次数（即频率） 是第一个 C 键振动次数的 2倍,因为用2 来分割,所以这个划分是按照等比数列而作出的. 我们容易求出分割比 x ,显然 x 满足 x12= 2 ,解这个方程可得 x 是个无理数 , 大约是 1106.于是我们说某个半音的音高是那个音的音高的1106 倍 ,而全音的音高是那个音的音高 11062 倍.实际上,在吉它中也存在着同样的等比数列.

音乐中的数学变换
数学中存在着平移变换,音乐中是否也存在着平移变换呢 ?我们可以通过图 2的两个音乐小节来寻找答案. 显然可以把第一个小节中的音符平移到第二个小节中去,就出现了音乐中的平移, 这实际上就是音乐中的反复. 把图 2 的两个音节移到直角坐标系中,那么就表现为图 3. 显然,这正是数学中的平移. 我们知道作曲者创作音乐作品的目的在于想淋漓尽致地抒发自己内心情感,可是内心情感的抒发是通过整个乐曲来表达的,并在主题处得到升华,而音乐的主题有时正是以某种形式的反复出现的. 比如, 图 4 就是西方乐曲 When the Saints GoMarching In 的主题 ,显然 ,这首乐曲的主题就可以看作是通过平移得到的.

如果我们把五线谱中的一条适当的横线作为时间轴（横轴 x） ,与时间轴垂直的直线作为音高轴（纵轴y） ,那么我们就在五线谱中建立了时间 - 音高的平面直角坐标系. 于是, 图 4 中一系列的反复或者平移,就可以用函数, , 近似地表示出来[2] , 如图 5 所示,其中 x 是时间, y 是音高. 当然我们也可以在时间 -音高的平面直角坐标系中用函数把图2中的两个音节近似地表示出来.

在这里我们需要提及十九世纪的一位著名的数学家,他就是约瑟夫.傅里叶（Joseph Fourier） ,正是他的努力使人们对乐声性质的认识达到了顶峰. 他证明了所有的乐声, 不管是器乐还是声乐, 都可以用数学式来表达和描述,而且证明了这些数学式是简单的周期正弦函数的和.

音乐中不仅仅只出现平移变换,可能会出现其他的变换及其组合,比如反射变换等等. 图6 的两个音节就是音乐中的反射变换. 如果我们仍从数学的角度来考虑,把这些音符放进坐标系中, 那么它在数学中的表现就是我们常见的反射变换,如图 7所示. 同样我们也可以在时间 - 音高直角坐标系中把这两个音节用函数近似地表示出来.

通过以上分析可知,一首乐曲就有可能是对一些基本曲段进行各种数学变换的结果.

大自然音乐中的数学

大自然中的音乐与数学的联系更加神奇,通常不为大家所知. 例如[2] , 蟋蟀鸣叫可以说是大自然之音乐,殊不知蟋蟀鸣叫的频率与气温有着很大的关系,我们可以用一个一次函数来表示:C = 4 t – 160。其中 C代表蟋蟀每分钟叫的次数, t 代表温度.按照这一公式,我们只要知道蟋蟀每分钟叫的次数,不用温度计就可以知道天气的温度了!

理性的数学中也存在着感性的音乐

由一段三角函数图像出发,我们只要对它进行适当的分段,形成适当的小节,并在曲线上选取适当的点作为音符的位置所在,那么就可以作出一节节的乐曲. 由此可见,我们不仅能像匈牙利作曲家贝拉?巴托克那样利用黄金分割来作曲,而且也可以从纯粹的函数图像出发来作曲. 这正是数学家约瑟夫?傅里叶的后继工作,也是其工作的逆过程. 其中最典型的代表人物就是20 世纪20 年代的哥伦比亚大学的数学和音乐教授约瑟夫?希林格（Joseph Schillinger） ,他曾经把纽约时报的一条起伏不定的商务曲线描述在坐标纸上,然后把这条曲线的各个基本段按照适当的、和谐的比例和间隔转变为乐曲,最后在乐器上进行演奏, 结果发现这竟然是一首曲调优美、与巴赫的音乐作品极为相似的乐曲!这位教授甚至认为,根据一套准则,所有的音乐杰作都可以转变为数学公式. 他的学生乔治?格什温（George Gershwin） 更是推陈出新, 创建了一套用数学作曲的系统, 据说著名歌剧《波吉与贝丝》（Porgy and Bess） 就是他使用这样的一套系统创作的.

文章来源：超级数学建模
推荐者：深中校友 应艺琳